Cálculo 1 – resumo e dicas

O cálculo diferencial é a base para o curso de computação e afins, muitos já estão carecas de saber sobre isso, apesar de resistirem a isso. Muitos se enganam ao afirmar que a matemática vista no curso, muitas das vezes arrastando para o I, II, III e até mesmo IV, não será usada em momento algum da programação, mas muitas funções são implementadas com bases matemáticas, como são usadas da biblioteca Math, por exemplo. Por isto, é importante a concentração no estudo dessa disciplina.

Este post tem a finalidade de dar dicas rápidas sobre o assunto de cálculo I, onde são abordadas as 1) funções que, nada mais são que uma regra que associa uma única saída (valor de X – domínio) a cada entrada (valor de Y – imagem) e cada saída pode ter a mesma entrada ou não, 2) derivadas e 3) integrais.

1) Funções

Alguns dos tipos de funções são:
– afim ou linear: f(x) = ax+b, onde o gráfico é uma reta;
– módulo ou valor absoluto: f(x) = |x|;
– quadrática: f(x) = ax²+bx+c, onde o gráfico é uma parábola;
– composta: f(g(x)), o famoso “fog” e g(f(x)), o famoso “gof”, onde uma função substitui a outra de dentro para fora.
– logarítima: f(x) = log x na base “b”, onde b > 0 e b != 1. Ex.: Se log a = c (base “b”), então a = b (b elevado a c). Alguns autores usam o ln na base “e” e outros na base 2.
Regra logarítimica – log a + log b = log (a x b) e log a – log b = log (a / b)

Se ao fazermos o gráfico a reta ou a curva cortar dois pontos, não é considero função.

Limites

Escrevemos lim f(x) = L com x -> a e dizemos “o limite de f(x), quando x tende a “a”, é igual a L” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tomando “x” suficientemente próximo de “a” (por ambos os lados, esquerdo e direito, de a), mas não igual a “a”.

Quando x -> infinito, quem manda na expressão de limite é o termo de maior grau da função. Ex.: lim 7x³+x²-2x-5 (x -> infinito) .. lim 7x³ (x -> infinito) = infinito
Casos especiais:
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite 1/infinito, o resultado é 0;
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite 1/0, o resultado é infinito;
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite a expressão “e”, o resultado é infinito;
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite infinito/infinito, o resultado é indeterminado;
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite infinito – infinito, o resultado é indeterminado;
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite infinito x 0, o resultado é indeterminado;
Caso aconteça de aparecer na resolução do limite 0/0, devemos fatorar a função para que se chegue a um resultado preciso.

Obs.: todo polinômio ou operação com polinômios é função contínua, exceto nos pontos que não pertencem ao denominador.

2) Derivadas

É a tangente do ângulo que a reta tangente faz com o eixo x. Para se resolver uma função simples, como f'(x) = 2x³ multiplicamos o expoente pelo número de base, no caso 3×2 e subtraímos o expoente por 1 e assim sucessivamente na derivada 1ª, 2ª e 3ª.

Algumas regras de resolução de derivadas:
Regra do produto – (f x g)’ = f x g’ +g x f’
Regra do quociente – (f / g)’ = (g x f’ – f x g’)/g²
Regra da cadeia – baseia-se na substituição da maior função por “u”, calcula-se separado sua derivada normal e depois re-substitui na função derivada.
Equação da reta tangente – y-yo = f'(xo) x (x – xo)

Para derivadas de funções trigonométricas, felizmente temos uma lista enorme de regras que pode ser usadas (lembrando que, em ambiente de provas, depende de cada professor, por isso é importante a fixação, por mais que seja impossível decorar todas) sempre que requeridas.

3) Integral

Já a operação de integral é contrária a de derivada, fazendo uma soma infinita, sendo tratada como integral INDEFINIDA, pois não é limitada a um intervalo. Quando a integral é limitada a um intervalo, se diz que é Integral Definida.

Ex.: integral de x elevado a n dx (sempre importante o uso de “dx” na integral), teremos (x elevado a n+1 divido por n+1) mais constante C (outro item importante no final do cálculo da integral, representando as constantes).

Funções trigonométricas têm tratamentos específicos para a resolução, felizmente também existe uma lista com algumas das integrais mais utilizadas.

A dica golden ainda continua sendo a prática de exercícios e mais exercícios, só assim o conteúdo é melhor fixado. Não fique apenas neste post, leia-o, escreva sobre ele e pratique. Um dos livros utilizados em salas de aula é o livro Cálculo – Volume I – 8.ed. do Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen L. Davis que pode ser encontrado no Google Books com algumas páginas disponíveis. Abaixo encontram alguns exercícios já resolvidos do livro.

Exercícios resolvidos cap. 7 [en] – link

Exercícios resolvidos cap. 8 [en] – link

Exercícios resolvidos cap. 9 [en] – link

Clicando aqui você pode conferir uma tabela resumida das principais funções utilizadas.

Para um estudo mais aprofundado em matemática aplicada, a SBMAC disponibiliza virtualmente um acervo de livros sobre o tema que é encontrado no link.